jueves, 20 de julio de 2017

1491 - Pandigitales como concatenación de potencias


En este caso concateno el resultado de dos potencias y el número obtenido lo factoreo y los factores tienen todos los dígitos una y solo una vez


153 // 203   =  33758000   =  24 x 53 x 16879 

  26 // 414   =  642825761  = 10847 x 59263 
  43 // 414   =  642825761  = 10847 x 59263 
  82 // 414   =  642825761  = 10847 x 59263 

 283 // 433  = 2195279507 =  8419 x 260753


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viernes, 14 de julio de 2017

1490 - Pandigitales como suma de potencias II

En este caso la suma de dos potencias dan como resultado un número cuyos factores usan cada uno de los dígitos una y solo una vez:



El único ejemplo que encontré es el siguiente:

  22436 =  6321363533 = 73 x 86594021

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domingo, 9 de julio de 2017

1489 - Pandigitales como suma de potencias I

Comienzo aquí una serie de entradas relacionadas.
En esta primera busco suma de potencias que den números pandigitales.
Aquí van los que yo encontré :

Pandigitales sin cero: 
   89   + 444  =   137965824  
  313   + 157  =  172453698 
  413  + 475  =   296453871 
  611  + 332  =   362798145 
  414  + 415  =   384291657 
  167  + 415   =  384291657 
  175  + 296   =  596243178 
   
Pandigitales con cero
  711  + 205   = 1980526743
 105   + 119   = 2358047691 
 158   + 185   = 2564780193 
  910  + 156   = 3498175026 
  98   +  396   = 3561790482 
 184  +  426   = 5489136720


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martes, 4 de julio de 2017

1488 - Menos primos en un pandigital

Espero no repetirme como ayer. 😜

En este caso busco lo inverso, el pandigital (con cada uno de los 9 digitos una y solo una vez) con menos primos dentro, obviamente que menos de cuatro es imposible, pero hay alguno con solo cuatro (2,3,5,7)?

Por ejemplo 915482763 tiene seis : 2, 3, 5, 7,  827 y 82763
Y si hay con cuatro, cuantos hay?
Lo mismo para panditales con un cero
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lunes, 3 de julio de 2017

1487 - Pandigital con mas primos

La idea es encontrar el menor pandigital  (número que contiene los 9 dígitos una y solo una vez) con la mayor cantidad de primos dentro. 

Por ejemplo 123456789 contiene 9 primos (de los 46 números que se forman en él ) : 2, 3, 5, 7, 23, 67, 4567 y 23456879
y el 987654321 contiene solo seis: 2, 3, 5, 7, 43 y 76543

Yo encontré uno con 16 primos, pero no verifiqué que sea el  de mas primos.

¿Qué pasa si incluimos también el cero?
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martes, 13 de junio de 2017

1486 - Con los dígitos de 2017 en orden

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lunes, 12 de junio de 2017

1485 -

12 es el menor número que puede expresarse de tres formas como suma de tres números usando nueve números diferentes.

12 = 0+4+8, 1+5+6, 2+3+7

17 es el menor número (?) que puede expresarse de cuatro formas como suma de tres números usando doce números diferentes.

17 = 0+8+9, 1+5+11, 2+3+12 y 4+6+7

¿Cuáles son los menores números que pueden expresarse de n formas usando nx3 números diferentes?, donde n = 5, 6, etc  
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martes, 6 de junio de 2017

1484 - Sumando de a tres

El número 12 es el menor número que puede formarse con tres sumas de tres números no repetidos en ninguna de las sumas.
Además puede hacerse de dos formas distintas:

12 = 0+4+8, 1+5+6, 2+3+7
12 = 0+5+7, 1+3+8, 2+4+6

Para el 13 yo encontré 6 5 formas

13 = 0+2+11, 1+5+7, 3+4+6
13 = 0+3+10, 1+4+8, 2+5+6

13 = 0+4+9,   1+3+9, 2+5+6
13 = 0+4+9,   1+5+7, 2+3+8
13 = 0+5+8, 1+2+10, 3+4+6
13 = 0+5+8, 1+3+9,  2+4+7

Encontrar la cantidad de soluciones para n=14, 15, etc
Existe una fórmula para encontrar la cantidad de soluciones?
La serie comienza así : 2, 5, ...



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miércoles, 24 de mayo de 2017

1483 - 2017 con otros primos

2017 además de ser un número primo, tiene todos los dígitos diferentes.
Basado en esto se me ocurrió la siguiente pregunta:
¿En cuántos conjuntos de primos, todos con los diez dígitos una sola vez presentes, puede participar el 2017?

Aquí van unos ejemplos de estos conjuntos :

{2017, 5, 89, 463}  y  {2017, 5, 89, 643}
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sábado, 20 de mayo de 2017

1482 - Igualdades sin iguales



   2016 = 7 x 9 x (3+5) x (8-4)
En esta igualdad se utiliza cada dígito una sola vez.

Seguramente es posible formar muchos números usando todos los dígitos una sola vez de esta forma (a ambos lados de la igualdad). 

La pregunta es, 
¿Cuál es el primero que NO se puede formar*?
 Es válido usar suma, resta, multiplicación, división, concatenación, potencias, raíces y paréntesis.
 
* Que no tenga dígitos repetidos, como bien me señala Mmonchi
 
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sábado, 6 de mayo de 2017

1481 - Cadena de primos formados por no primos


2, 3, 5 y 7 son los dígitos primos

41 es primo
941 es primo
8941 es primo
08941 es primo
608941 es primo 

Todos ellos son primos

formados solo por dígitos no primos.

608941 contiene a  su vez a todos 
los dígitos no primos.
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lunes, 24 de abril de 2017

1480 - Conjeturando sobre la suma de potencias de dos primos

Tomemos dos primos como por ejemplo 2 y 3.
Calculemos todas las sumas posibles del tipo :
2m + 3n
donde m y n pueden tomar cualquier valor mayor a 0 y pueden ser iguales entre sí
Así obtendremos como resultados de esas sumas : 5, 7, 11, 13, 17, 19, 25, 29, 31, 35, etc.
De los números compuestos obtenidos veamos sus factores, así por ejemplo 259 = 7x37,  265 = 5x53.

Yo calculé todos las sumas posible para n y m entre 1 y 20 (400 sumas) y veo que entre los resultados, ya sea en la suma en sí o en sus factores, están  muchos de los primos menores a 200.
Salvo el 23, 47, 71, 167 y 191 están todos los otros, muchos como resultados directos de las sumas correspondientes y otros como factores.
La preguntas son las siguientes (preguntar es fácil, responder es lo difícil) :

1. Aparecerán todos los primos?, ya sea como suma directa, ya sea como factores de esas sumas.
2. Ocurre algo similar independientemente de los primos que tomemos como bases?
3. Alguien puede encontrar si aparecen el 23, el 47, etc?
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sábado, 8 de abril de 2017

1479 - Continuando con Goldbach

A raíz del problema anterior, Graeme McRae encontró  solo dos números pares menores a 1000 (8 y 12)  que al sumarles cada uno de los primos que forman el par cuya suma da dicho número, esta suma da un número primo.
Para aclarar:

8   = 3+5 y 8+3 y 8+5 son números primos
12 = 5+7 y 12+5 y 12+7 son números primos
Para todo otro número par menor a 1000
Si P = mi  + ni   alguna de las sumas P + mi ó P + ni  es compuesto
Por ejemplo para 16
16 = 3+13 = 5+11 y la sumas 16+5 y 16+11 dan un número compuesto.

Hay muchos números pares en los que alguna de las sumas da primo, pero no en todas.


Por otra parte Graeme señala que 8, 12, 18, 24, y  30 son los únicos números en los que todas las sumas dan un número primo o que todas las sumas menos una da un número primo.

Por ejemplo 
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
Son primos 24+5, 24+19, 24+7, 24+17, y 24+13 pero 24+11 es compuesto.


¿Alguien puede encontrar algún otro ejemplo además del 8 y el 12 en los que todas las sumas dan números primos?

¿Alguien puede encontrar algun otro número par en las que todas las sumas menos una da un número primo? 
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miércoles, 5 de abril de 2017

1478 - Conjetura de Goldbach

La conjetura de Goldbach dice : 

Todo número par mayor a dos puede expresarse como suma de dos primos.
o sea P = a + b 
donde P =  Nº par mayor a dos y a y b son números primos.
Así :
4= 2+2
6= 3+3
8= 3+5
10 = 3+7 = 5+5
12 = 5+7
14 = 3+11 = 7+7
etc

Ahora bien que pasa si a P le sumamos a o b, se obtendrá siempre al menos un número primo?
Lamentablemente no.
Por ejemplo 28 = 5+23 = 11+17 y 28+5, 28+23, 28+11 y 28+17 son todos números compuestos.
Los siguientes números pares no dan un primo cuando le sumamos alguno de estos primos
4, 6, 28, 38, 52, 58, 62, 68, 74, 80, 82  etc.

¿Cuáles son los primeros x pares consecutivos que no están en la secuencia? Donde x = 3, 4, etc.

¿Qué pasa si el primo a sumar puede ser cualquier primo?
Aparentemente siempre se puede encontrar un primo que sumado a un número par de un número primo.
Alguien puede demostrarlo o refutarlo?
Quizás ya está comprobado, disculpen mi desconocimiento sobre el tema.

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viernes, 24 de marzo de 2017

1477 - Capicúas raros

64446 es un capicúa raro.
Es raro porque es la suma de dos primos consecutivos, 
64446 = 32213 + 32233
y además es la suma de dichos primos invertidos, 
64446 = 31223 + 33223

Otro ejemplo de capicúa raro es 264080462, ya que
264080462 = 132040201 + 132040261
y
264080462 = 102040321 + 162040231

¿Habrá otros ejemplos?


Sobre una idea de ady Tzidon
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miércoles, 8 de marzo de 2017

1476 - Pares que suman cuadrados

Rafael Cerezo Perez me comentó que vio en internet lo siguiente:
La suma de los números 184 y 345, al igual que la de sus cuadrados y sus cubos dan cuadrados perfectos ¿Existen otros números con esta característica?

Buscando pares hasta el 10000, yo encontré estos pares que cumplen lo pedido,

184  y  345
736   y 1380
1656  y  3105
2944  y 5520
4600  y  8625


¿Mas ejemplos?
¿Existen pares en los cuales las sumas de potencias mas grandes además de las pedidas sean también sean cuadrados (cuarta, quinta, etc)?
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lunes, 20 de febrero de 2017

1475 - Formando primos

Hoy que es el día 51 del año, Jim wilder publicó el siguiente tweet:



Que traducido sería mas o menos así :
Para el día 51 : 51 es el menor número que puede escribirse con los números del 1 al 5 como suma de primos

Eso me dio la idea para la siguiente entrada.
Con los números del 1 al 3 podemos formar los siguientes primos : 2 y 13 cuya suma es 15, también podemos formar 2 y 31 pero la suma es mayor a la anterior, 33, por lo tanto nos quedamos con los números anteriores

Con los números del 1 al 4 podemos formar los siguientes primos :  2 y 431 cuya suma es 433 pero también podemos formar 3 y 241 cuya suma es menor, 244, por lo tanto tomamos esta como solución válida.

La idea está establecida, lograr formar con los números del 1 al n primos de forma tal que la suma de dichos primos sea la mínima posible.

Acá van los resultados que yo obtuve (sin esforzarme por encontrar las sumas menores, cosa que dejo para ustedes)

3 = 2, 13  Suma 15
4 = 3, 241 Suma 244
5 = 2, 3, 5, 41 Suma 51
6 = 461, 523 Suma 984
7 = 7, 461, 523 Suma 991
8 = 5, 7, 461, 823 Suma 1296
9 = 5, 97, 461, 823 Suma 1386
10 = 5, 461, 823, 1097 Suma 2386
11 = 5, 23, 461, 811, 1097 ó 5, 11, 461, 823, 1097 Suma 2397

Nótese que a medida que entran los números de dos cifras éstas deben permanecer juntas.
Encontrar las menores sumas de primos formados por los primeros n números.
También se puede empezar con el cero 2, 103, etc.

 







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jueves, 19 de enero de 2017

1474 - Un nuevo tipo de cuadrado mágico

En base a una idea de William Walkington y a un aporte de Inder Jeet Taneja, Walter Trump desarrolló el siguiente cuadrado mágico, que además de poseer todas las cualidades de un cuadrado mágico tradicional, el área geométrica de cada celda se corresponde con su numero.


 Se  puede leer el desarollo y la historia de estos cuadrados mágicos el el siguiente sitio : Magic squares


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domingo, 8 de enero de 2017

1473 - Números como suma de repdigits

Llamamos repdigits a los números que contienen repeticiones de un determinado dígito.
Ejemplos 11, 666, 2 , 333333, etc.
Rodolfo Kurchan propuso la semana pasada en Facebook, encontrar los menores números que no pueden formarse como suma de n repdigits.
Así la serie empieza  10, 21, 320, 2219, 32218,....
21 figura porque es el menor número que necesita al menos tres repdigitos como sumandos para poder formarse : 11+9+1, o 11+8+2, o 11+7+3, 9+8+4, etc 

 Pregunta  1 : ¿Cómo sigue la serie?

Otras de las preguntas que se hace Rodolfo son:
Supongamos que son válidos todos los números que son suma de repdigts, pero dentro de los sumandos no puede haber dos o mas repdigits de un mismo dígito (por ejemplo no es válido sumar 222+22+6, ya que hay dos repdigits del 2), 
Pregunta 2 ¿Cuál es el menor número que no se puede formar? 
Pregunta 3 ¿Cuál es el menor primo que no se puede formar con esta misma condición?
Pregunta 4 ¿Con esta nueva condición como sería la serie? 
Los primeros números serían los mismos? ya que :
10 =  9+1
21 =  11+8+2
320 = 1+9+88+222
2219 = 11 +99 +444 + 777+ 888
Pero el 131 no hay forma de lograrlo con tres repdigits de digitos distintos, como así tampoco el 861 con cuatro así que la serie en este caso empieza : 

10, 21, 131, 861,...

Pregunta 5 ¿Cual es el número con mayor cantidad de dígitos diferentes que se pueden formar sumando Repdigits que no compartan digitos entre ellos?

Por ejemplo 
12345 = 3 + 22 + 99 + 4444 + 7777
108942 = 55 + 888 + 99999 

Rodolfo me acota que en su libro "Nuevos acertijos con números" que escribió con Jaime Poniachik, había problemas como este último. Aquí van algunos de ellos:

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domingo, 1 de enero de 2017

1472 - La conjetura de Rodolfo

En la entrada 1469 les hablé  de un paper que Gustavo Piñeiro leyó y nos comentó en un grupo de chat, en el que se demostraba que cualquier número podía escribirse como la suma de al menos 49 capicúas.
En ese mismo grupo de chat, Rodolfo Kurchan nos avisó que encontró una página en la que se habla de una demostración de Javier Cilleruello en la  que cualquier número entero podía expresarse como la suma de tres capicúas.

Rodolfo investigando y probando un poco me comentó que cree que la mayor parte de los números puede expresarse como la suma de dos capicúas en tanto que el resto de los números puede expresarse como suma de dos capicúas siendo uno de ellos un capicúa especial. 
Estos capicúas especiales son números capicúas, pero a diferencia de los demás pueden tener uno o mas ceros por delante, es decir que son válidos números como 01610, 00023232000, etc.

Así por ejemplo el año que finalizó y el que acaba de comenzar se pueden expresar como :

2016 = 1441 + 575 
2017 = 1331 + 686

Inclusive números grandes como :
20149580973 = 19869096891 + 280484082

Algunos ejemplos que usan el capicúa especial:

2001 = 1001 + 0001000
20201 = 11111 + 09090
2073 = 363 + 01710
91729 = 91619 + 0110

Ahora bien, la pregunta que se hace Rodolfo (y yo también) es si es verdad su conjetura de que cualquier número entero puede ser escrito como suma de dos capicúas  (pudiendo ser uno de estos capicúas un capicúa especial)

Actualización (4/01/2017):. Lo que buscamos ahora es el menor número que no puede formarse sumando dos capicúas (pudiendo ser uno o los dos especiales, o no) si la conjetura es falsa, sino demostrar que es verdadera
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